Dados da Aula
O que o aluno poderá aprender com esta aula
Compreender e conceituar a lógica na matemática.
Compreender noções de proposição e paradoxo.
Entender e empregar elementos da lógica na resolução de problemas.
Compreender noções de proposição e paradoxo.
Entender e empregar elementos da lógica na resolução de problemas.
Duração das atividades
3 aulas (50 minutos cada)
Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno
- Leitura, interpretação e produção de texto e resolução de problemas.
- Conhecimentos de matemática básica.
Estratégias e recursos da aula
Organização da Aula
Para essa aula, o professor pode solicitar aos alunos que antecipadamente, se possível, leiam o livro "Alice no País das Maravilhas" e "Através do espelho e o que Alice encontrou lá" de Lewis Carrol. Outra possibilidade é que vejam o filme de Tim Burton "Alice no Pais das Maravilhas". Também é possível ver o teaser do filme “Alice in Wonderland Teaser 1”, com a duração de 1:41min. Tal filme corresponde a uma chamada para atrair o telespectador para o filme “Alice in Wonderland (Alice no País das Maravilhas) de Tim Burton, lançado no ano de 2010. Ver: http://www.youtube.com/watch?v=LjMkNrX60mA.
No caso do livro, o primeiro volume encontra-se disponível para download em:
http://www.ebooksbrasil.org/adobeebook/alicep.pdf.
Essa leitura/ver a chamada do filme, para os alunos é interessante,
pois as obras indicadas apresentam um conjunto de linguagens
diferenciadas que serão tema do assunto abordado nesta aula. Ao
solicitar a leitura o professor deve encaminhar que os alunos se atentem
aos discursos textuais identificando e anotando construções estranhas.
Como referência, o professor poderá obter mais informações sobre o livro e o filme nos seguintes sites:
- Alice no País das Maravilhas
- Filme Alice in Wonderland
- Lewis Carroll
Sobre o autor
Lewis Carrol, é pseudônimo de Charles Lutwige Dogson, que nasceu na
Inglaterra, em 1833. Filho mais velho de uma família abastada, tinha por
hábito inventar jogos e passatempos para divertir seus sete irmãos.
Formou-se em Matemática com louvor na Universidade de Oxford, onde mais
tarde foi professor. Escreveu Alice no país das Maravilhas (1865/66),
Através do espelho e o que Alice encontrou lá (1871), entre outras
obras. Em matemática escreveu Um tratado elementar sobre determinante
(1867), Lógica simbólica (1896) e Euclides e seus rivais modernos
(1879). Fonte: Wikipédia (
http://pt.wikipedia.org/wiki/Lewis_Carroll).
Após a explanação, o professor deve organizar os alunos em grupo e
apresentar a atividade 1. Lembrando que para resolução das situações
propostas, o raciocínio é fundamental. Portanto os alunos devem escolher
livremente os métodos que irão utilizar. O professor pode orientar os
alunos quanto a resolução dos problemas, porém é fundamental que os
alunos pensem e elaborem suas reflexões, desenvolvam e exercitem seu
raciocínio, necessário para resolver os problemas.
Atividade 1
Alice, ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da semana.
O Leão e o Unicórnio eram duas estranhas criaturas que frequentavam a floresta.
O Leão mentia as segundas, terças e quartas-feiras e falava a verdade nos outros dias da semana.
O unicórnio mentia as quintas, sextas e sábados, mas falava a verdade nos outros dias da semana.
Problema 1
Um dia Alice encontrou o Leão e o Unicórnio descansando à sombra de uma árvore. Eles disseram:
Leão: Ontem foi um dos meus dias de mentir.
Unicórnio: Ontem foi um dos meus dias de mentir.
A partir dessas afirmações, Alice descobriu qual era o dia da semana. Que dia seria?
Problema 2
Em outra ocasião Alice encontrou o Leão sozinho. Ele fez as seguintes afirmações:
1 - Eu menti ontem.
2 - Eu mentirei daqui a 3 dias.
Qual era o dia da semana?
Problema 3
Em qual dia da semana é possível o Leão fazer as seguintes afirmações?
1 - Eu menti ontem.
2 - Eu mentirei amanhã.
O professor deve permitir que os alunos discutam nos grupos para chegar as respostas (15 a 20 minutos de discussão).
Sem formalizar respostas aos problemas, o professor deve explicar
que questões como essas correspondem a um tema que dentro da Matemática
chamamos de
Lógica. Um tema rico que não é um instrumento só da
Matemática, mas que permeia conversas informais entre amigos, leitura de
jornais ou revistas e também diversas disciplinas escolares.
O termo Lógica vem do grego, “logos” que significa palavra,
pensamento, ideia, argumento, relato, razão lógica ou principio lógico. É
uma ciência de índole matemática ligada também à filosofia.
A lógica formal, também chamada de lógica simbólica, preocupa–se com
a estrutura do raciocínio. A lógica matemática é o uso da lógica formal
para estudar o raciocínio matemático. A lógica informal (ou cotidiana)
estuda os aspectos da argumentação válida que não depende exclusivamente
da lógica formal.
Após a explanação, o professor deve apresentar aos alunos o recurso " A lógica de Alice", disponível em:
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17215. Sugerindo que os alunos se atentem a discussão apresentada no vídeo.
É conveniente que durante a apresentação do vídeo o professor faça
interrupções para analisar com os alunos as conversas que surgem entre
Alice e a rainha, ou entre Alice e Sir Carrol.
Depois da apresentação do vídeo, o professor deve retomar com os
alunos as situações problema, encaminhando no quadro de giz, anotando as
observações dos alunos em uma tabela.
Coloque os dados do Leão (L) e do Unicórnio (U). Usando M quando
mente e V quando diz a verdade. Dessa forma, teremos na segunda feira,
L-M e U-V, na terça, L-M e U-V, na quarta, L- M e U-V, na quinta, L-V e
U-M, na sexta L-V e U-M, no sábado, L-V e U-M, e no domingo, L-V e U-V.
| Seg. | Ter. | Qua. | Qui. | Sex. | Sab. | Dom. | |
| Leão | M | M | M | V | V | V | V |
| Unicórnio | V | V | V | M | M | M | V |
Resposta:
Para o problema 1, pela resposta do Leão, pode ser segunda ou
quinta-feira. Pela resposta do Unicórnio, pode ser quinta ou domingo.
Portanto, como os dois se referiam a um mesmo dia da semana, este será
quinta-feira.
Para o problema 2, o dia poderia ser segunda ou quinta-feira.
Porém, como o Leão mentirá 3 dias depois de hoje, hoje pode ser segunda,
terça, quarta, sexta, sábado ou domingo. Logo o dia da semana era
segunda-feira.
No caso do problema 3, a afirmação (1) pode ser feita segunda ou
quinta-feira. A afirmação (2) pode ser feita quarta e domingo. Portanto,
NÃO EXISTE um dia da semana que seja possível para o Leão fazer as duas
afirmações.
Atividade 2
Na sequência o professor deve no quadro, apresentar aos alunos as seguintes sentenças:
1 - O cachorro é um mamífero. R: (V)
2 - Curitiba é a capital do Brasil. R: (F)
3 - x é menor que 5. R: (?)
4 - o quadrado de x é 16. R: (?)
No caso da questão 1 e 2 é possível responder V ou F, pois são
questões fechadas. No caso das questões 3 e 4, isso é impossível
afirmar, pois são sentenças abertas, que dependem de uma variável.
A notação P(x) que representa a frase “x é menor que 5” é um predicado e x a variável. Neste caso, temos uma proposição.
Proposição é uma sentença que pode ser verdadeira
(V) ou falsa (F). As proposições simples podem combinar proposições
através de conectivos lógicos.
Apresentar aos alunos o vídeo "A revanche de Alice" disponível em:
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/17216.
Durante a apresentação do vídeo, questione aos alunos quais
conectivos lógicos são usados por Alice e pela rainha durante a
conversa. Só então encaminhe:
Proposições podem ser representadas por letras do alfabeto: a, b, c, . . . , p, q, . .
Proposições simples combinam-se com outras (ou são modificadas por alguns operadores), gerando novas sentenças.
Os conectivos serão representados da seguinte forma:
A partir de uma proposição e dos conectores, podemos construir
uma outra proposição correspondente com a sua negação; e com duas ou
mais.
Assim, seja a sentença:
“Se Maria é estudiosa então ela passará no Vestibular”.
Sejam as proposições:
p = “Maria é estudiosa”.
q = “Ela passará no Vestibular”.
Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma: Se p então q ( ou p ⇒q ).
p: "Está quente".
q: "Está frio".
Respostas:
a) Não está quente
b) Não está frio.
c) Está quente ou está frio.
d) Está quente e está frio.
e) Se está quente então está frio.
f) Se está quente então não está frio.
g) Está quente se somente se está frio.
“Se Maria é estudiosa então ela passará no Vestibular”.
Sejam as proposições:
p = “Maria é estudiosa”.
q = “Ela passará no Vestibular”.
Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma: Se p então q ( ou p ⇒q ).
Atividade 3
Considerem as proposições e traduzam para a linguagem natural:p: "Está quente".
q: "Está frio".
Respostas:
a) Não está quente
b) Não está frio.
c) Está quente ou está frio.
d) Está quente e está frio.
e) Se está quente então está frio.
f) Se está quente então não está frio.
g) Está quente se somente se está frio.
Atividade 4
Essa atividade é considerada um desafio.
Aquiles era famoso entre os gregos por ser muito veloz na
corrida. Em um competição entre Aquiles e uma tartaruga, poderia parecer
bem fácil apostar, mesmo sendo dada no começo uma certa vantagem à
tartaruga. Porém:
1. Antes de Aquiles poder ultrapassar a tartaruga, que começa adiantada, ele tem que superar o atraso;
2. Por mais rápido que seja Aquiles, ele gastará algum tempo para chegar ao ponto de onde a tartaruga partiu;
3. Por mais lenta que seja a tartaruga (e ela é lenta), durante
esse tempo ela se adianta pelo menos um pouquinho mais na corrida;
4. Isso vale também para o próximo pedaço da corrida. Aquiles
corre até o ponto aonde a tartaruga chegou; mas, enquanto isso, a
tartaruga avança de novo; um pouco mais longe de Aquiles. Aquiles fica
cada vez mais perto, mas nunca recupera inteiramente o trecho perdido.
Aquiles, com sua famosa rapidez, com certeza chegará depressa
bem pertinho atrás da tartaruga. Mas por que ele não pode nunca
ultrapassar seu competidor, pelo menos logicamente falando?
Fonte:
http://goo.gl/RvV1P.
Aquiles e a tartaruga - Fonte:
http://goo.gl/k21sj
Nessa atividade, o professor deve permitir que os grupos
elaborem suas justificativas. Deixe alguns minutos para discutir e sem
formalizar nenhuma resposta, apresente o vídeo "Alice, os paradoxos e a
formalização". Disponível em:
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/20124
.
Durante a apresentação do vídeo, é importante que o professor
discuta com os alunos conceitos de paradoxo, matemática e lógica. E
sobre não se ter uma resposta imediata para essas questões. Encaminhar
que certa vez, Russel um matemático famoso disse que a Matemática era
uma ciência, na qual não se sabe do que se fala e nem se o que se fala é
verdade. Outro matemático, Emile Borel retrucou, que a Matemática era a
única ciência, na qual se sabe do que se fala e que o que se fala é
verdade. Podemos dar significado às duas afirmações, de modo que
ambos tenham razão. Basta que, na primeira definição, pensemos no mundo
físico, real e na segunda, nos restrinjamos à
verdade matemática. Fonte:
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/20124
.
Continuando sobre o paradoxo de Aquiles: Na verdade, pelo menos
de acordo com a teoria do espaço infinitamente divisível de Zenon,
Aquiles jamais poderá alcançar a tartaruga. Pois, por mais devagar que
seja, ela se adianta pelo menos um pedaço na corrida sempre que Aquiles a
alcança no ponto anterior. Ele terá que tirar mais aquela diferença, de
depois mais outra, e mais outra,
ad infinitum. É claro que Zenão desconsiderou a questão
do tempo, e do valor absoluto da velocidade de Aquiles, que certamente o
fará ultrapassar a tartaruga em dado momento.
Mas o paradoxo tem o mérito de mostrar que nem sempre a teoria
bate com a realidade, e se dependesse dela, a tartaruga poderia
comemorar a vitória na corrida.
Para finalizar a aula, o professor deve destacar que todas as
atividades desenvolvidas nesta aula, tiveram por intenção apresentar a
lógica, elemento indispensável para a estruturação do pensamento na
resolução de problemas. Nesse tipo de atividade, muitas vezes é
necessário rever os enunciados dos exercícios e só então iniciar o
processo de busca da solução. E, quando esta não é atingida, é
necessária uma (re) releitura mais atenta, para que se possa reconhecer
algum detalhe que não foi percebido e assim, chegar à solução. Dessa
forma, desenvolve-se o hábito de estruturar e dar ordem ao pensamento,
para que consiga atingir um nível de abstração mais elevado, elemento
fundamental da lógica.
Recursos Educacionais
| Nome | Tipo |
|---|---|
| A lógica de Alice | Vídeo |
| Alice, os paradoxos e a formalização | Vídeo |
| A revanche de Alice | Vídeo |
Recursos Complementares
Brincando com a Lógica: Aprendendo a Pensar. Disponível em: http://www.feg.unesp.br/extensao/teia/trab_finais/TrabalhoMichele.pdf,
Aristóteles lógica. Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/14703,
Aristóteles lógica. Disponível em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/14703,
Avaliação
A avaliação deverá ser realizada ao longo das aulas, observando os alunos nos seguintes critérios:
1. Desenvolvimento e socialização no grupo na resolução dos problemas.
Se concentrou no desenvolvimento das atividades? Contribuiu na
discussão?
2. No desenvolvimento do raciocínio lógico? O aluno foi argumentativo? A produção no grupo foi pertinente?
3. Durante a apresentação dos vídeos, o grupo do aluno formulou conceitos? Auxiliou ou solicitou auxílio dos colegas.
4. Participação individual e coletiva dos alunos no desenvolvimento do contexto geral da aula.
obs. Um meio que pode contribuir para a verificação de aprendizagem dos
alunos é sempre solicitar aos alunos que realizem anotações no caderno
referente ao contexto da aula para registro de suas aprendizagens. Que
diariamente relatem o que aprenderam e como aprenderam. Esses relatos
podem contribuir para que o professor perceba os caminhos que os alunos
vem fazendo, bem como avaliar suas aprendizagens.
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